Question

如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点.过坐标原点的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限.过点作轴的垂线，垂足为.设直线的斜率为.

（1）若直线平分线段，求的值；

（2）当时，求点到直线的距离.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据椭圆的标准方程可以求出、两点的坐标，进而求出线段中点的坐标，利用直线平分线段，结合斜率的公式求出的值；

（2）求出直线的方程，与椭圆方程联立，解方程组得两点坐标，求出点坐标，再求出直线的方程，最后利用点到直线距离公式进行求解即可.

（1）由题设知，，，故，，所以线段中点的坐标为.

由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过坐标原点，

所以.

（2）当时，直线的方程为，由解得，

从而点的坐标是，点的坐标为，

于是点的坐标为.

所以直线的方程为.

所以点到直线的距离为.