Question

已知椭圆的两焦点分别为，，是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两直线、分别交椭圆于、两点.

（1）求点坐标；

（2）当直线经过点时，求直线的方程；

（3）求证直线的斜率为定值.

Answer

（1）（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）设，由题意可知与，联立求解即可.

（2）由题意可知，的斜率为－1，的斜率为1，确定直线方程与直线的方程，然后分别与椭圆联立，求解，两点坐标，即可.

（3）由题意可知，直线、的斜率必存在，设的方程为：，与椭圆联立，求解点坐标，同理求解点坐标，求直线的斜率，即可.

（1）由题可得，，

设

则，.

∴即

∵点在曲线上，则.

解得点的坐标为.

（2）当直线经过点时，则的斜率为－1，

因两条直线、的倾斜角互补，故的斜率为1，

由得，，

即，故，

同理得，

∴直线的方程为

（3）依题意，直线、的斜率必存在，不妨设的方程为：.

由得，

设，则，，

同理，则，

同理.

所以，的斜率为定值.