Question

已知是定义在上的函数，满足.

（1）证明：2是函数的周期；

（2）当时，，求在时的解析式，并写出在（）时的解析式；

（3）对于（2）中的函数，若关于x的方程恰好有20个解，求实数a的取值范围.

Answer

（1）证明见解析 （2）当时，，当（）时， （3）

【解析】

（1）根据，代换得到得到证明.

（2）当时，，则，代入化简得到答案.

（3）画出函数图像，根据函数的图像与直线的交点个数得到答案.

（1）因为，所以，

所以2是函数的周期.

（2）当时，，则，

又，即，解得.

所以当时，，所以

的周期为2，当（）时，

（3）作出函数的图像，则方程解的个数就是函数的图像与直线的交点个数.

若，则（）都是方程的解，不合题意.

若，则是方程的解，要使方程恰好有20个解，在区间上，有9个周期，每个周期有2个解，在区间上有且仅有一个解.

则解得，.若，同理可得.

综上.