Question

已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）当函数有两个极值点，，总有成立，求整数t的最大值.

Answer

（1）极大值为-7，的极小值为. （2）最大值为.

【解析】

（1）通过求出的导数，求出的单调区间，进而可得极值；

（2）对求导，函数有两个极值点，可得在上有两个不等的正实根，由韦达定理可得，再将代入可得恒成立，，求导，求出 的最小值即可.

【解析】
（1），

故在上单调递增，上单调递减，上单调递增，

从而的极大值为，的极小值为；

（2）函数的定义域为，，

有两个极值点，，

则在上有两个不等的正实根，

由，可得，

由题，有，即恒成立，

令，，

设，因为，

所以在上单调递增且当时，，又，

故存在，使得，即，，

所以在上单调递减，上单调递增，

故，

故，，

所以t的最大值为.