Question

已知椭圆，离心率为，直线恒过的一个焦点.

（1）求的标准方程；

（2）设为坐标原点，四边形的顶点均在上，交于，且，若直线的倾斜角的余弦值为，求直线与轴交点的坐标.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）将转化成直线点斜式方程形式，求出所过的恒点，进而知道椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式进行求解即可.

（2）根据向量等式，可以确定分别是的中点.设，求出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，利用一元二次方程根与系数关系，求出的坐标，同理求出点坐标，求出直线的方程，最后求出直线与轴交点的坐标.

（1）设椭圆的半焦距为，可化为，所以直线恒过点，所以点，可得.因为离心率为，所以，解得，由得，所以的标准方程为.

（2）因为，所以.由得分别是的中点.设.由直线的倾斜角的余弦值为，得直线的斜率为2，所以，联立消去，得.显然，，且， ，所以，可得，同理可得，所以，所以.令，得，所以直线与轴交点的坐标为.