Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，且，求证:.

Answer

（1）讨论见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）求出函数的定义域以及函数的导数，然后根据的正负性进行分类讨论，求出函数的单调区间；

（2）当时，求出函数的导数，可以确定的单调性，设，可以证明出，根据，可以证明出，根据同角的三角函数关系式可以得到，最后根据余弦函数的单调性进行证明即可.

（1）的定义域为，，

当时，恒成立，在上单调递减；

当时，由解得，由解得，所以在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）当时，，，则在上单调递增.设，且，则，即，所以，可得.因为，所以，所以，即.因为，所以，所以，所以.综上可得，，且，即.