Question

如图，在多面体中，底面为菱形，底面，.

（1）证明：平面；

（2）若，，当长为多少时，平面平面.

Answer

（1）证明见解析；（2）1

【解析】

(1)先证明面面，从而可得平面.
（2）设的中点为，以为原点，，，分别为，，轴，建立坐标系，设,易知平面的法向量为，求出平面的法向量，根据法向量垂直可求解.

证明：（1）：∵，面，面，

∴面.

同理面，又，面，面，

∴面面，又面，

∴平面.

（2）∵，，∴，

设的中点为，连接， 则.

以为原点，，，分别为，，轴，建立坐标系.

则，，，令，则，

，.

设平面的法向量为，则，

即，令，则，

∴.

易知平面的法向量为，

当平面平面时，，

解之得.

所以当时，平面平面.