Question

已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上.

（1）求椭圆方程；

（2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0.

①求证：直线经过定点，并求出定点坐标；

②求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）①证明见解析；②1

【解析】

(1)由条件有，将点代入椭圆方程结合，可求解椭圆方程.
(2) ①设点，，设直线，，的斜率分别为，由条件有，将直线方程与椭圆方程联立，将，代入化简可得，得到直线过定点.
②由①利用弦长公式可求出，再求出原点到直线的距离，则的面积可表示出来，从而可求其最大值.

【解析】
（1）由题意可得，又由点在椭圆上，故得，

∵，解得，.

∴椭圆的方程为；

（2）设点，.

联立得，

∴，

化简得①，②，③

设直线，，的斜率分别为

直线，，的斜率之和为0，∴，

即

，

∴，又，∴.

综上可得，直线经过定点.

②由①知.

∴，

原点到直线的距离.

∴，

∵，

当且仅当，即取“”.

∴，即面积的最大值为1.