Question

设数列的前n项和为，已知，．

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）令，，证明：对任意，均有（要求不得使用数学归终法）．

Answer

（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）直接将代入已知等式即可得的值；

（2）将已知等式化简为，再写一式，两式相减，即可求数列是以首项为1，公差为1的等差数列，求出，即求出数列的通项公式；

（3）易得，令数列的前项和为，求出得通项公式，利用作差法判断，综合即得结果.

（1）∵，

∴当时，，

又，∴.

（2）∵．

∴，①

∴当时，，②

由①-②，得，

∵，∴，

∴，

∴数列是以首项为1，公差为1的等差数列，

∴，∴，

当时，上式显然成立，

∴.

（3）∵，∴，

∴，

，

令数列的前项和为，

从而，

当时，，

又

，

即对任意的，有，

又因为，所以，

则，故原不等式成立.