Question

已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若函数的值域为，求实数a的取值范围；

（3）设，若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）利用题意得到对数不等式，求解不等式，即可求得最终结果；

（2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数的不等式组，求解不等式组即可；

（3）将原问题转化为函数只有一个根的问题，然后分类讨论即可求得最终结果．

（1）当时，不等式为:，可得:，则不等式解为.

（2）函数，

设函数的值域为M，则，

当，即时，不满足题意，

当，即时，，得实数的取值范围是.

（3）因有且只有一个零点，

故，原问题等价于方程

当满足时，只有唯一解，方程(*)化为，

①当时，解得，此时，满足题意；

②当时，两根均为，此时也满足；

③当且时，两根为，

当时，，

当时，，

由题意，，解得，

综上，a的取值范围是.