Question

设，.

（1）求奇偶性；

（2）若，，用定义法证明单调性；

（3）若最大值是2，求的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）写出函数的解析式，分别判断和时，函数的奇偶性；

（2）利用单调性定义证明即可；

（3）化简函数，利用换元法将其转化为函数，根据二次函数的对称轴，进行分类讨论，从而求得的取值范围．

（1）①当时，由于，从而为奇函数；

②当时，由， ，

得，且.

故函数为非奇非偶函数.

（2）当时，函数在上递增.

理由:任取，且，则， ，

故函数在上递增.

（3），下面研究函数，

①当，即时， ，， ，

所以 ，

又在时递增，

所以，即有，

可得，在递增，可得；

②当，即时， ，即，

可得，

综上可得，.