Question

已知圆及直线：.

(1)证明：不论取什么实数，直线与圆C总相交；

(2)求直线被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程.

Answer

(1)证明见解析；(2) ，.

【解析】

（1）根据直线过的定点在圆内，得出直线与圆总相交．
（2）作图分析出当直线与半径CM垂直与点M时|AB|最短，利用勾股定理求出此时|AB|的长，再运用两直线垂直时斜率相乘等于−1，求出此时直线的方程．

【解析】
(1)证明：直线的方程可化为，

由方程组，解得

所以直线过定点M(3，1)，

圆C化为标准方程为，所以圆心坐标为(1，2)，半径为5，

因为定点M(3，1)到圆心(1，2)的距离为√，

所以定点M(3，1)在圆内，

故不论m取什么实数，过定点M(3，1)的直线与圆C总相交；

(2)设直线与圆交于A、B两点，当直线与半径CM垂直与点M时，直线被截得的弦长|AB|最短，

此时，

此时，所以直线AB的方程为，即.

故直线被圆C截得的弦长的最小值为，此时的直线的方程为.