Question

如图，记棱长为1的正方体，以各个面的中心为顶点的正八面体为，以各面的中心为顶点的正方体为，以各个面的中心为顶点的正八面体为，……，以此类推得一系列的多面体，设的棱长为，则数列的各项和为________.

Answer

【解析】

根据条件求出，，，，然后归纳得到：奇数项与偶数项都是等比数列，然后求和即可.

正方体各面中心为顶点的凸多面体为正八面体，

它的中截面（垂直平分对顶点连线的界面）是正方形，

该正方形对角线的长度等于正方体的棱长，

所以，

以各个面的中心为顶点的凸多面体为正方体，

正方体面对角线长等于棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的），

因此对角线为，所以，

以上方式类推得到，，，

所以各项为，

奇数项是以为首项，以为公比的等比数列，

偶数项是以为首项，以为公比的等比数列，

所以数列的各项和为.

故答案为：.