Question

对于定义在上的函数，若函数满足：①在区间上单调递减；②存在常数p，使其值域为，则称函数为的“渐近函数”；

（1）证明：函数是函数的渐近函数，并求此时实数p的值；

（2）若函数，证明：当时，不是的渐近函数.

Answer

（1）证明见解析，；（2）证明见解析；

【解析】

（1）通过令，利用“渐近函数”的定义逐条验证即可；（2）通过记，结合“渐近函数”的定义可知，问题转化为求时，的最大值问题，进而计算可得的范围，从而证明结论.

（1）根据题意，令，

则，

所以，

所以在区间上单调递减，且，

所以，

于是函数是函数，的渐近函数，

此时实数.

（2）即，

，

假设函数，的渐近函数是，

则当时，，即，

令函数，，

则，

当时，，

当时，，在区间上单调递增，

且

所以，

所以，

所以当时，不是的渐近函数.