Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的点到点的距离与它到直线的距离之比为，圆O的方程为，曲线C与x轴的正半轴的交点为A，过原点O且异于坐标轴的直线与曲线C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中，设直线AB，AC的斜率分别为；

（1）求曲线C的方程，并证明到点M的距离；

（2）求的值；

（3）记直线PQ，BC的斜率分别为、，是否存在常数，使得？若存在，求的值，若不存在，说明理由.

Answer

（1），证明见解析；（2）；（3）存在；；

【解析】

（1）利用两点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程，从而求出曲线的方程，并能证明到点的距离；（2）设，则，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值；（3）联立直线和椭圆方程，求得点坐标，再求出直线和直线的斜率，从而得到的值.

（1）曲线上的点到点的距离

与它到直线的距离之比为，

所以可得，

整理得曲线的方程为：，

而是椭圆的右焦点，是椭圆上的点，

所以到点的距离.

（2）设，则，

所以，

所以

.

（3）联立，得到，

所以，其中，

所以，，

联立，得到，

所以，其中，

所以，，

所以，，

所以，

所以存在常数，使得.