Question

等差数列首项和公差都是，记的前n项和为，等比数列各项均为正数，公比为q，记的前n项和为：

（1）写出构成的集合A；

（2）若将中的整数项按从小到大的顺序构成数列，求的一个通项公式；

（3）若q为正整数，问是否存在大于1的正整数k，使得同时为（1）中集合A的元素？若存在，写出所有符合条件的的通项公式，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）n为奇数，；n为偶数，；（3）存在；或或.

【解析】

（1）直接由等差数列的求和公式得到，再把分别代入，即可求出集合；（2）写出，根据整数项构成，得到或为的整数倍，从而得到的通项；（3）根据的前n项和为，根据同时为（1）中集合A的元素，进行分类讨论，从而得到的通项公式.

（1）因为等差数列的首项和公差都是，

所以.

把分别代入上式，

得到；

（2）由（1）得，

因为中的整数项按从小到大的顺序构成数列，

所以或为的整数倍，

①当，即时，

此时是的奇数项，所以

所以，

②当时，

此时是的偶数项，所以

所以

综上所述，为奇数，；为偶数，；

（3）①当时，，，

所以，

同时为（1）中集合A的元素，

所以,，得，

所以，

所以；

②当时，，

所以，

因为为正整数，正整数大于，

所以i）当时，，

得到，此时，，

所以，得，

故；

ii）当时，，得，此时，，

所以，得，

故；

iii）当，，时，找不到满足条件的.

综上所述，存在符合条件的，

通项公式为：或或.