Question

已知四棱锥的底面为菱形，且，，，与相交于点.

（1）求证：底面；

（2）求直线与平面所成的角的值；

（3）求平面与平面所成二面角的值.（用反三角函数表示）

Answer

（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由已知中四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，PB＝PD＝AB＝2，PA＝PC，AC与BD相交于点O，根据平行四边形两条对角线互相平分及等腰三角形三线合一，结合线面垂直的判定定理，我们易得到结论；
（2）以O为坐标原点，建立坐标系，分别求出各顶点坐标，进而求出直线 PB的方向向量与平面PCD的法向量，代入线面夹角的向量法公式，即可求出答案；

（3）求出平面的法向量，代入面面夹角的向量法公式，即可求出答案.

（1）证明：因为ABCD为菱形，
所以O为AC，BD的中点
因为PB＝PD，PA＝PC，
所以PO⊥BD，PO⊥AC
所以PO⊥底面ABCD；
（2）【解析】
因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
建立如图所示空间直角坐标系
又∠ABC＝60°，PA＝AB＝2
得，
所以

则，
设平面PCD的法向量
有，所以，令
得，
，
直线与平面所成的角的值为；

（3）设平面的法向量,

因为
有，所以，令
得，

，
由图知，平面与平面所成二面角为钝角，

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