Question

平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线与抛物线 交于点O，A，B，且的垂心为的焦点，则的离心率为______；如果与在第一象限内有且只有一个公共点，且，那么的方程为____________．

Answer

【解析】

由双曲线的渐近线与抛物线联立，求得或，取，设垂心，得到，再根据垂心的性质，求得，利用离心率的定义，可求得双曲线的离心率，再由双曲线与抛物线的联立方程组，利用，求得，即可得到抛物线的方程．

由题意，双曲线的渐近线为，

与抛物线联立，可得或，

取，设垂心，则，

因为的垂心为的焦点，所以，整理得，

即，即，所以，

又由，则，所以曲线，

与抛物线联立方程组，可得，即，

因为曲线与在第一象限内有且只有一个公共点，

所以，解得，所以．

故答案为：，．