Question

已知数列满足，且，．

（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前n项和．

Answer

（1）证明见解析，；（2）

【解析】

（1）由，整理得，得出是以2为公比，以为首项的等比数列，进而求得数列的通项公式；

（2）由（1）可得，利用等差数列的前项和公式和“乘公比错位相加法”，即可求得数列的前项和．

（1）由题意，数列满足，

可得，，即，，

所以是以2为公比，以为首项的等比数列，

所以，，

又由．

当，成立，

所以数列的通项公式为．

（2）由（1）可得，

所以．

令，

则，

两式相减得，

解得，

又由，故．