Question

已知关于直线对称，且圆心在轴上.

（1）求的标准方程；

（2）已知动点在直线上，过点引的两条切线、，切点分别为.

①记四边形的面积为，求的最小值；

②证明直线恒过定点.

Answer

（1）（2）① ②证明见解析

【解析】

（1）根据圆的一般式，可得圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，结合圆心在轴上，即可求得圆C的标准方程．

（2）①根据切线性质及切线长定理，表示出的长，根据圆的性质可知当最小时，即可求得面积的最小值；②设出M点坐标，根据两条切线可知M、A、C、B四点共圆，可得圆心坐标及半径，进而求得的方程，根据两个圆公共弦所在直线方程求法即可得直线方程，进而求得过的定点坐标．

（1）由题意知，

圆心在直线上，即，

又因为圆心在轴上，

所以，

由以上两式得：，，

所以.

故的标准方程为.

（2）①如图，的圆心为，半径，

因为、是的两条切线，

所以，，

故

又因为，

根据平面几何知识，要使最小，只要最小即可.

易知，当点坐标为时，

.

此时.

②设点的坐标为，

因为，

所以、、、四点共圆.

其圆心为线段的中点，，

设所在的圆为，

所以的方程为：，

化简得：，

因为是和的公共弦，

所以，两式相减得，

故方程为：，

当时，，

所以直线恒过定点.