Question

已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若恒成立，求实数m的取值范围.

Answer

（1）当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是；（2）.

【解析】

（1）对求导，对参数进行分类讨论，即可求得函数的单调性；

（2）分离参数，根据的取值不同，进行分类讨论，将问题转化为函数最值的问题进行处理.

（1）

当即时，

当即时，由得或；由得

当即时，由得或；由得

综上：

当时，的单调递增区间是，无单调递减区间

当时，的单调递增区间是，，

单调递减区间是

当时，的单调递增区间是，，

单调递减区间是

（2）

①当时，成立，故

②当即时，

令，即求在上的最大值

∵

令则在上为减函数，且

故当时，，时，

故在上单调递增，上单调递减

∴在上的最大值为

∴

③当时，

即求在上的最小值

∵时，，时，

∴在上单调递减，上单调递增

∴在上的最小值为

∴.

∴综上，.