Question

正四棱柱中，底面的边长为1，为正方形的中心.

（1）求证：平面；

（2）若异面直线与所成的角的正弦值为，求直线到平面的距离.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）通过证明四边形一组对边平行且相等，得出四边形是平行四边形，从而得出另一组对边平行，得出线线，即可证出线面；

（2）法一：通过已知异面直线与所成的角的正弦值为，可求出正方体的高，由（1）得出平面，将直线到平面的距离转化成点到面的距离，即点到平面的距离，再利用线面垂直的判定和性质，证出平面，所以在直角三角形中，求出的值，即可得出所求答案；

法二：直线到平面的距离转化成点到面的距离，即点到平面的距离，再利用三棱锥等体积法求点到面的距离，即，化简便可求出结果.

（1）连接，交于点，连接，交于点，连接，

正四棱柱中，，且，又因为点、分别为、的中点，

所以，且，

则四边形为平行四边形，故，

又不在平面内，在平面内，

故平面.

（2）由（1），，故异面直线与所成的角等于，

因为正四棱柱中，侧棱底面，则，

又，则平面，则.

因正方形的边长为1，则.

得，则.

因为平面，则直线到平面的距离等于点到平面的距离，

又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离，

在三角形内作，因为平面，

则平面平面，故平面.

直角三角形中，，，，

则.

则直线到平面的距离为.

方法二（等体积法）：

因为平面，则直线到平面的距离等于点到平面的的距离，

又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离，

设点到平面的距离为，由，

，且，，.

求得.则直线到平面的距离为.