Question

已知抛物线，过点的直线交于，两点，且满足以线段为直径的圆，圆心为，且过坐标原点.

（1）求抛物线的方程；

（2）若圆过点，求直线的方程和圆的方程.

Answer

（1）（2）当时，，，当时，，

【解析】

（1）依题意得，直线过点，可设，与抛物线联立，写出韦达定理，再根据圆的性质得出，代数化简求出，即可得出抛物线的方程；

（2）因为圆的直径为，且过点，由圆的性质得出，结合（1）中的韦达定理，代数化简求得的值，因此得出直线的方程和圆的方程.

（1）设，，，

联立方程有，，

，，

又以线段为直径的圆，圆心为，且过坐标原点，

有，，有，即抛物线的方程为.

（2）由（1）可得，，，

由圆过点，可得，

故，

故（1）可得，，可得，

解得或者，

当时，，，

当时，，.