Question

在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数）.以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上的动点，过点且与垂直的直线交于点，求的最小值，并求此时点的直角坐标.

Answer

（1）曲线的普通方程为：；曲线的直角坐标方程为：（2）的最小值为6，此时点的坐标为

【解析】

（1）利用消参法，消去参数，可把曲线的参数方程化为普通方程；通过极坐标和直角坐标的互化公式，可将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程；

（2）点是曲线上动点，由的参数方程可表示出点坐标，运用点到直线距离公式求到直线的距离，再运用辅助角公式化简即可得出答案.

（1）由曲线，可得：

两式两边平方相加可得：曲线的普通方程为：.

由曲线得：，

即，所以曲线的直角坐标方程为：.

（2）由（1）知椭圆与直线无公共点，

椭圆上的点到直线的距离为

，

当时，的最小值为，

此时的最小值为6，此时点的坐标为.