Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为，过F₁的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF₂的周长为8．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．

Answer

（1）； （2）见解析.

【解析】

(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.

（1）由题意知，4a=8，则a=2，

由椭圆离心率，则b2=3．

∴椭圆C的方程；

（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．

又A，B两点在椭圆C上，

∴，

∴点O到直线AB的距离，

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）

联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．

由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，

由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，

整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，

∴ ．

∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．

∴点O到直线AB的距离为定值．

综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．