Question

已知函数.

（1） 若函数有零点, 求实数的取值范围;

（2） 证明:当，时, ．

Answer

（I）；（II）详见解析.

【解析】

试题（I）对函数求导，可得函数单调性，并求得函数的最小值，若函数有零点，函数最小值小于零且在定义域范围有函数值大于零，解不等式可得的范围；(Ⅱ)将代入不等式化简为，可构造函数 利用导数判断单调性可知在 条件下 最小值为 ，最大值为．可证命题．

试题解析：

(Ⅰ)法1: 函数的定义域为.

由, 得.

因为,则时, ;时, .

所以函数在上单调递减, 在上单调递增.

当时, .

当, 即时, 又, 则函数有零点.

所以实数的取值范围为.

法2：函数的定义域为.

由, 得.

令，则.

当时, ; 当时, .

所以函数在上单调递增, 在上单调递减.

故时, 函数取得最大值.

因而函数有零点, 则.

所以实数的取值范围为.

(Ⅱ) 要证明当时, ,

即证明当时, , 即.

令, 则.

当时, ;当时, .

所以函数在上单调递减, 在上单调递增.

当时, .

于是,当时, ①

令, 则.

当时, ;当时, .

所以函数在上单调递增, 在上单调递减.

当时, .

于是, 当时, ②

显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.

故当时, .