Question

已知函数，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为________.

Answer

【解析】

作出图象，求出方程的根，分类讨论的正负，数形结合即可.

当时，令，解得，

所以当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，

当时，单调递减，且，

作出函数的图象如图：

（1）当时，方程整理得，只有2个根，不满足条件；

（2）若，则当时，方程整理得，

则，，此时各有1解，

故当时，方程整理得，

有1解同时有2解，即需，，因为（2），故此时满足题意；

或有2解同时有1解，则需，由（1）可知不成立；

或有3解同时有0解，根据图象不存在此种情况，

或有0解同时有3解，则，解得，

故，

（3）若，显然当时，和均无解，

当时，和无解，不符合题意．

综上：的范围是，

故答案为：，