Question

如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”.过椭圆第一象限内一点P作x轴的垂线交其“辅圆”于点Q，当点Q在点P的上方时，称点Q为点P的“上辅点”.已知椭圆上的点的上辅点为.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若的面积等于，求上辅点Q的坐标；

（3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆E的位置关系，并证明你的结论.

Answer

（1）；（2）；（3）直线PT与椭圆相切，证明见解析

【解析】

（1）根据定义直接求解即可；（2）设点，，则点，，则可得到，再根据的面积可得到，进一步与椭圆方程联立即得解；（3）表示出直线的方程，与椭圆方程联立，再判断△即可得出结论．

（1）椭圆上的点的上辅点为，

辅圆的半径为，椭圆长半轴为，

将点代入椭圆方程中，解得，

椭圆的方程为；

（2）设点，，则点，，将两点坐标分别代入辅圆方程和椭圆方程可得，，，

故，即，

又，则，

将与联立可解得，则，

点的坐标为；

（3）直线与椭圆相切，证明如下：

设点，，由（2）可知，，

与辅圆相切于点的直线方程为，则点，

直线的方程为：，整理得，

将与椭圆联立并整理可得，，

由一元二次方程的判别式，可知，上述方程只有一个解，故直线与椭圆相切．