Question

已知数列满足，，其中是数列的前n项和.

（1）求和的值及数列的通项公式；

（2）设.

①若，求k的值；

②求证：数列（中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.

Answer

（1），，；（2）①1，②见解析

【解析】

（1）利用递推关系式求出数列的前几项，同时求出数列的通项公式；（2）结合第一问的结论求出，①直接代入即可求解；②对于给定的，若存在，，，，使得，只要找到相应的整数，即可证明．

（1）时，，所以，

时，，所以，所以.

由，①

所以，②

由②①得，

即，③

当时，，④

由③④得，

即，

所以数列是首项为0，公差为2的等差数列，

故数列的通项公式是.

（2）；

；

①；

．

②对于给定的，若存在，，，，使得；

，只需，

两边取倒数，即，即；

即，；取，则；

；

对数列中的任意一项，总可以表示成该数列其他两项之积．