Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当函数与函数图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；

（3）证明：当时，函数有两个零点，，且满足.

Answer

（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）利用导数求解单调性；（2）先求出公切线的方程，再探讨的取值范围；（3）先利用导数研究函数的单调性，证明零点个数．再使用函数思想，构造函数，利用导数研究函数单调性解决不等式问题．

（1）对求导，得，

令，解得，

当时，，单调递增．

当，时，，单调递减．

（2）设公切线与函数的切点为，，则公切线的斜率，

公切线的方程为：，将原点坐标代入，得，解得．

公切线的方程为：，将它与联立，整理得．

令，对之求导得：，令，解得．

当时，，单调递减，值域为，

当时，，单调递增，值域为，

由于直线与函数相切，即只有一个公共点，因此．

故实数的取值集合为．

（3）证明：，要证有两个零点，只要证有两个零点即可．（1），

即时函数的一个零点．

对求导得：，令，解得．当时，，单调递增；

当时，，单调递减．当时，取最小值，，

，必定存在使得二次函数，

即．因此在区间上必定存在的一个零点．

综上所述，有两个零点，一个是，另一个在区间上．

下面证明．

由上面步骤知有两个零点，一个是，另一个在区间上．

不妨设，则，下面证明即可．

令，对之求导得，

故（a）在定义域内单调递减，，即．

证明完毕．