Question

已知数列满足，（是自然对数的底数），且，令（）.

（1）证明：；

（2）证明：是等比数列，且的通项公式是；

（3）是否存在常数，对任意自然数均有成立？若存在，求的取值范围，否则，说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，

【解析】

（1）由已知可得：．利用基本不等式的性质可得：，可得，代入化简即可得出．

（2）设，由，．可得．即可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．

（3）假设存在常数，对任意自然数均有成立．由（2）可得：．时，，解得．时，，利用单调性即可得出．

【解析】
（1）依题意得，要证明，即证明，

又因为，所以，

要证明，即证明，要证明，即证明，

又因为，即得证.

（2）设，因为，且，

则.

所以：是公比为的等比数列，则，

．

的通项公式是；

（3）假设存在存在常数，对任意自然数均有成立，

由（2）知，，

当时，；

当时，，

而，

则当时，，故存在这样的，