Question

已知函数．

（1）讨论的导函数的零点的个数；

（2）证明：当时，．

Answer

（1），没有零点，，存在唯一的零点；（2）证明见解析.

【解析】

试题

（1）讨论函数零点个数，讨论单调性，找到函数最值；

（2）要证，即证最小值大于，．

（Ⅰ），因为定义域为，

有解 即有解. 令，，

当

所以，当时，无零点； 当时，有唯一零点.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，设在上唯一零点为，

当，在为增函数；

当， 在为减函数.