Question

在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，且是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求多面体的体积.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题（1）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；（2）利用，可得多面体的体积.

（1）证明：取AD的中点N，连接MN，NF．

在△DAB中，∵M是BD的中点，N是AD的中点，

∴MN∥AB，MN，

又∵EF∥AB，EF，

∴MN∥EF，且MN＝EF．

∴四边形MNEF为平行四边形，则EM∥FN，

又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，

故EM∥平面ADF；

（2）【解析】
∵∠ABD＝90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，EB，EF＝1，BC，

∴多面体ABCDEF的体积V＝VF﹣ABD+VF﹣BED+VE﹣BDC

（）．