Question

已知函数f（x）a（x﹣1）²+（x﹣2）e^x（a＞0）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若关于x的方程f（x）a＝0存在3个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

Answer

（1）见解析（2）2e＜a＜e2或a＞e2．

【解析】

（1）对函数进行求导并因式分解，令，求出根，对两根大小进行讨论，即可得到函数f（x）的单调性；

（2）将因式分解，可知是方程的一个解，因此有2个实数根且，构造函数，求导利用单调性和极值即可得到实数a的取值范围．

（1），

，由可得或，

（i）当时，，

在上，单调递增，

在上，单调递减；

（ii）当时，，在R上恒成立，即在R上单调递增；

（iii）当时，，

在，上，单调递增，

在上，单调递减；

（2）有3个实数根，

显然是方程的一个解，故0有2个实数根且，

即，

令，则，

当时，单调递减，

当，单调递增，

当时，时，取得极小值，，

又，则或．