Question

设函数，

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若在内有极值点，当，，求证：.

Answer

（1）增区间为：，.（2）证明见解析

【解析】

（1）求出的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间即可；

（2）求出的导数，令，根据函数的单调性得到：；，作差得到新函数，，根据函数的单调性求出其最小值即可证明结论成立．

（1）函数的定义域为，当时，，

令：，得：或，所以函数单调增区间为：，.

（2）证明：，

令：，

所以：，，若在内有极值点，

不妨设，则，且，

由得：或，

由得：或，

所以在递增，递减；递减，递增，

当时，；

当时，，

所以：

，.

设：，，则.

所以：是增函数，所以.

又：，

所以：.