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在平面直角坐标系中,椭圆:过点,,为椭圆的左、右焦点,离心率为,圆的直径为. (...

在平面直角坐标系中,椭圆过点为椭圆的左、右焦点,离心率为,圆的直径为.

1)求椭圆及圆的方程;

2)设直线与圆相切于第一象限内的点.

①若直线与椭圆有且只有一个公共点,求点的坐标;

②若直线与椭圆交于两点,且的面积为,求直线的方程.

 

(1)椭圆:;圆:(2)① ,② 【解析】 (1)根据椭圆所过定点及离心率,结合椭圆中的关系,即可求得椭圆的标准方程;求得圆的圆心和半径,即可得圆的方程. (2)①根据椭圆与圆的位置关系,可知当直线与圆相切于第一象限内的点,且直线与椭圆有且只有一个公共点时,直线的斜率必小于0.设出直线方程,由直线与圆相切及点到直线距离公式,可得与的等量关系.联立直线方程与椭圆方程,由一个交点时可得与的等量关系.建立方程组可得与的值,即可求得直线方程.将直线方程与圆的方程联立,即可求得切点坐标. ②设,将直线方程与椭圆方程联立,可得,,由两个交点时可求得的取值范围.利用弦长公式表示出,由点到直线距离公式表示出到直线的距离.结合的面积为即可得与的等量关系.解方程求得与的值,即可求得直线方程. (1)椭圆:过点,离心率 所以,解方程组可得 故椭圆的方程为 圆的直径为,则圆心为,半径为 所以圆的方程为 (2)①椭圆的方程为,圆的方程为,如下图所示: 直线与圆相切于第一象限内的点,且直线与椭圆有且只有一个公共点, 所以直线与椭圆也相切,且切点在第一象限,切点的纵坐标小于点的纵坐标 因而直线的斜率小于0 设直线的方程为,即 因为直线与圆相切,则圆心到直线的距离为圆的半径,即, 化简可得 因为直线与椭圆也相切,则 化简可得 则 解得 所以 解得,(舍) 则 所以直线的方程为 则,化简可得 解得 所以切点的坐标为 ②直线与椭圆交于,两点,设 联立直线与椭圆,则 化简可得 则 由题意可知 化简解不等式可得 由弦长公式可得 由点到直线距离公式可知到直线的距离 则 将,即代入可解得 即,(舍),则 所以直线的方程为
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