Question

已知，，曲线与在原点处的切线相同.

（1）求，的值；

（2）求的单调区间和极值；

（3）若时，，求的取值范围.

Answer

（1）, （2）的单调递减区间为,单调递增区间为;,无极大值;（3）

【解析】

（1）先求得与.根据导数的几何意义,将切点坐标代入求得切线斜率.再根据两个函数在原点的切线相同,即可求得的值;将切点代入即可求得的值.

（2）将的值代入,令求得极值点.讨论极值点左右两侧导数的符号,即可确定的单调区间和极值;（3）由（1）可知当时.所以当时,对于任意都成立;当时,构造函数,代入、后求得,再根据所求的构造,并求得.分析可知,当时,所以令,进而讨论的取值情况. 当时,可知在单调递增,因而,即.从而可得;当时,由可得单调递增,由零点存在定理可知存在,使得.通过的单调性可知,所以,即在内有单调递减区间,因而不成立.即可得的取值范围.

（1）,定义域为.

则,

则在原点处的切线斜率为,

而曲线与在原点处的切线相同.

所以

解得

由题意可知过

代入可得

综上可得,

（2）由（1）可知,

令,解得

当时,

当时,

所以的单调递减区间为,单调递增区间为

则在处取得极小值,无极大值

（3）由（1）可知当时

此时无论取何值,均满足

当时,

令

则

令

则

由可知

所以令,解得

i:当时,,

所以在单调递增,所以.

即,所以在内单调递增,

则,此时满足题意.

ii:当时,,所以单调递增

而,当时,

由零点存在定理可知存在,使得

因而在内单调递减,在内单调递增

而由于,则

因而,即在内有单调递减区间,

因而,不符合题意

综上可知,当时,,的取值范围为