Question

已知椭圆C：（）的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为.

（1）求C的方程；

（2）设C的右顶点为A，不过C左、右顶点的直线l：与C相交于M，N两点，且.请问：直线l是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.

Answer

（1）；（2）是，.

【解析】

（1）由焦点坐标、长轴长和短轴长关系、椭圆关系可构造方程组求得，进而得到所求方程；

（2）将直线方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式；根据垂直关系可得，代入韦达定理的结果可整理得到，进而解得，；分别验证两个结果可知满足题意，根据直线过定点的求解方法可确定定点坐标.

（1）由题意得：，解得：

的方程为：

（2）设，

由得：

则，化简得：…①

，

又

，即

又

即

化简为：

解得：，，均满足①式

当时，，直线过点，不合题意，舍去；

当时，，直线过定点

综上可知，直线过定点，定点坐标为