Question

在中，内角，，的对边分别是，，，已知，点是的中点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求中线的最大值.

Answer

（Ⅰ）； （Ⅱ）.

【解析】

（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；

（2）根据余弦定理求出边的不等量关系，再用余弦定理把用表示，即可求解；或用向量关系把用表示，转化为求的最值.

（Ⅰ）由已知及正弦定理得.

又，

且，∴，即.

（Ⅱ）方法一：在中，由余弦定理得，

∵，当且仅当时取等号，∴.

∵是边上的中线，∴在和中，

由余弦定理得，，①

.②

由①②，得，

当且仅当时，取最大值.

方法二：在中，由余弦定理得，

∵，当且仅当时取等号，∴.

∵是边上的中线，∴，两边平方得

，∴，

当且仅当时，取最大值.