Question

如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点E是棱的中点．

（1）求证：平面ABC；

（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）存在，或

【解析】

（1）利用余弦定理解得，结合勾股定理得到，证得侧面，

，继而可证平面ABC；

（2）以B为原点，分别以，和的方向为x，y和z轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M，设，由EM与平面所成角的正弦值为，可求解.

（1）由题意，因为，，，利用余弦定理，

解得，又，，侧面，．

又，AB，平面ABC，∴直线平面ABC．

（2）以B为原点，分别以，和的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，，，，

设平面的一个法向量为，，，

，，令，则，，

假设存在点M，设，，，

，，

利用平面的一个法向量为，，得．

即，或，或．