Question

某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨）之间的函数关系式可以近视地表示为,已知此生产线的年产量最大为210吨.

(Ⅰ) 求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

(Ⅱ)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润?最大利润是多少?

Answer

（1）年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．（2）年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．

【解析】

本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：一正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴

（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．

（2）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．

【解析】
（1）生产每吨产品的平均成本为

，

由于，

当且仅当时，即时等号成立． http://wx.jtyjy.com/]

答：年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元；

（2）设年利润为，则

，

由于在上为增函数，故当

时，的最大值为1660．

答：年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．