Question

已知a、b、c为的三边长，直线l的方程，圆.

（1）若为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；

（2）若为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段的长度为整数，求c的取值范围；

（3）点，，，，设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

(1)△ABC为直角三角形，c为斜边长，则，又直线与圆相切，根据点到直线的距离公式，得到关于c的方程，求出c即可；

(2)此时圆为以(c，c)为圆心，以c为半径的圆，直线可化为x+y+1＝0，直线l上任意一

点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段｜PQ|的长度为整数，设圆心到直线的距离为d，只需d+r能用整数表示，并且圆的直径2r≥1即可；

(3)将S表示出来，利用放缩法，结合几何意义处理.

(1)因为若△ABC为直角三角形，c为斜边长，所以，

直线l与圆M相切，所以圆心(a，b)到直线ax+by+c＝0的距离为c即

所以，即或（舍）

(2)若△ABC为正三角形，若△ABC为正三角形，则此时圆是以(c,c)为圆心，c为半径的圆，直线方程为x+y+1＝0，设圆心(c，c)到直线的距离为d，则d＝,

要使直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段PQ的长度为整数，需满

足同时成立，即

(3)依题意S=

因为三角形的两边之和大于第三边，所以S可化为:S=,

下面求S的最小值，从几何意义上看，S代表(1，1)到直线l的距离的二倍，

而直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，

三边中若c为最大值，则直线l在两坐标轴上的截距均小于-1，此时(1，1)到直线l的最小

距离大于2，即S＞4.

若c不是最大值，不妨设a为最大值，则

综上：