Question

如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E为AB的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）要证明线面平行，需先证明线线平行，所以连接，交于点M，连接ME，证明；

（Ⅱ）由题意可知点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离，根据体积公式剩余部分的体积是.

（Ⅰ）如图，连接，交于点M，连接ME，则．

因为平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）因为平面ABC，所以点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离．

如图，设O是AC的中点，连接，OB．因为为正三角形，所以，

又平面平面，平面平面，所以平面ABC．

所以点到平面ABC的距离，故三棱锥的体积为

．

而斜三棱柱的体积为．

所以剩余部分的体积为．