Question

以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为，P是上一动点，，Q的轨迹为.

（1）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程，

（2）若点，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线的交点为A，B，当取最小值时，求直线l的普通方程.

Answer

（1），（2）

【解析】

（1）设点P，Q的极坐标分别为，)，利用这一关系，可得Q的极坐标方程，再化成普通方程，即可得答案；

（2）设点A，B对应的参数分别为，，则，将直线l的参数方程，（为参数），代入的直角坐标方程，利用韦达定理，从而将问题转化为三角函数的最值问题，求出此时的值，即可得答案.

（1）设点P，Q的极坐标分别为，)，

因为，

所以曲线的极坐标方程为，

两边同乘以ρ，得，

所以的直角坐标方程为，即.

（2）设点A，B对应的参数分别为，，则，

将直线l的参数方程，（为参数），

代入的直角坐标方程中，整理得.由根与系数的关系得.

∴，( 当且仅当时，等号成立)

∴当取得最小值时，直线l的普通方程为.