Question

已知函数.

（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；

（2）若函数有两个不同的极值点，记作，，且，证明：（为自然对数）.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

（1）由题意可知，函数的定义域为，，因为函数在为增函数，所以在上恒成立，等价于，

由此可求的取值范围；

（2）求出，因为有两极值点，所以，

设令，则，上式等价于要证，令，根据函数的单调性证出即可．

（1）由题意可知，函数的定义域为，

，

因为函数在为增函数，所以在上恒成立，

等价于在上恒成立，即，

因为，所以，

故的取值范围为.

（2）可知，

所以，

因为有两极值点，所以，

欲证，等价于要证：，即，

所以，因为，所以原式等价于要证明：，①

由，可得，则有，②

由①②原式等价于要证明：，即证，

令，则，上式等价于要证，

令，则

因为，所以，所以在上单调递增，

因此当时，，即.

所以原不等式成立，即.