Question

已知不等式|2x-1|+|2x-2|＜x+3的解集是A．

（Ⅰ）求集合A；

（Ⅱ）设x，y∈A，对任意a∈R，求证：xy（||x+a|-|y+a||）＜x²+y²．

Answer

（Ⅰ）A={x|0＜x＜2}（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）利用零点分类法，进行求解不等式；

（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质和基本不等式进行证明。

【解析】
（Ⅰ）当x＜时，不等式变形为1-2x+2-2x＜x+3，解得0＜x＜；

当时，不等式变形为2x-1+2-2x＜x+3，解得；

当x＞1时，不等式变形为2x-1+2x-2＜x+3，解得1＜x＜2；

综上得A={x|0＜x＜2}．

（Ⅱ）∵x，y∈A，∴0＜x，y＜2，

∵||x+a|-|y+a||≤|（x+a）-（y+a）|=|x-y|，

∵0＜x，y＜2，∴-2＜x-y＜2，∴|x-y|＜2，∴||x+a|-|y+a||＜2，

∵+≥2=2，∴||x+a|-|y+a||＜+，即xy（|x+a|-|y+a|）＜x2+y2．