Question

已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，椭圆上短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为；

（1）求椭圆的方程；

（2）过作垂直于轴的直线交椭圆于两点（点在第二象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，若，求证：直线的斜率为定值.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据离心率和三角形面积可构造关于的方程，解方程可求得，进而得到椭圆方程；（2）假设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到和；根据知，从而可利用韦达定理形式表示出等式，化简可得；当时，可知过点，不符合题意；所以可知.

（1）由题意可得：且

又得：，，

椭圆的方程为

（2）证明：由（1）可得：直线：，

设直线的方程为，代入椭圆方程

消可得

设，，则

则，

即

化简可得

或

当时，直线的方程为

则直线经过点，不满足题意

即直线的斜率为定值