Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数a的取值范围.

Answer

（1）当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递减区间为；单调递增区间为；（2）

【解析】

（1）求解导函数，根据导函数的分子（二次函数）分类讨论与的关系，从而可分析出函数的单调性；

（2）根据已知条件构造关于的新函数，根据新函数的单调性分析出的取值范围，然后根据与的关系即可求解出的取值范围.

【解析】
（1）的定义域为，.

（i）若，则，当且仅当，时，

（ii）若，令得.

当时，；

当时，，

所以，当时，单调递减区间为，无单调递增区间；

当时，单调递减区间为；

单调递增区间为.

（2）由（1）知：且.

又，∴，

由得，

∴.

令，∴，

∴，所以在上单调递减.

由y的取值范围是，得t的取值范围是，

∵，∴，

∴，

又∵，故实数a的取值范围是.