Question

已知函数，函数.

（1）若的定义域为，求实数的取值范围；

（2）当时，求函数的最小值；

（3）是否存在非负实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据等价转化的方法，得到在上恒成立，然后利用分类讨论的方法，或，并结合二次函数的图像与性质，可得结果.

（2）利用换元法，可得，然后根据讨论对称轴与区间

的位置关系，根据函数单调性，可得结果.

（3）化简式子可得，利用该函数的单调性，可得，计算可得结果.

（1）由，

所以

又的定义域为，

则在上恒成立

当时，，则在上不恒成立

当时，则

综上：

（2）令，则

所以在最小值

等价于在的最小值

对称轴为

当时，在递增

则在处有最小值

当时，

则在处有最小值

当时，在递减

则在处有最小值

综上：

（3）存在

①

由为非负实数，所以①在单调递增

又值域为，所以

所以存在，当时，

函数在上，值域为