Question

已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）当时，证明：对；

（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围。

Answer

(1)见证明；(2)

【解析】

（1）利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论；

（2）问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a分类讨论，分别研究a的不同取值下，导函数的单调性及值域，从而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在极值．

(1)当时，，于是，.

又因为，当时，且.

故当时，，即.

所以，函数为上的增函数，于是，.

因此，对，；

(2) 方法一：由题意在上存在极值，则在上存在零点，

①当时，为上的增函数，

注意到，，

所以，存在唯一实数，使得成立.

于是，当时，，为上的减函数；

当时，，为上的增函数；

所以为函数的极小值点；

②当时，在上成立，

所以在上单调递增，所以在上没有极值；

③当时，在上成立，

所以在上单调递减，所以在上没有极值，

综上所述，使在上存在极值的的取值范围是.

方法二：由题意，函数在上存在极值，则在上存在零点.

即在上存在零点.

设，，则由单调性的性质可得为上的减函数.

即的值域为，所以，当实数时，在上存在零点.

下面证明，当时，函数在上存在极值.

事实上，当时，为上的增函数，

注意到，，所以，存在唯一实数，

使得成立.于是，当时，，为上的减函数；

当时，，为上的增函数；

即为函数的极小值点.

综上所述，当时，函数在上存在极值.